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Funktionsarithmetik II

Quadratische Operationen, Division und das Geheimnis der Lücke

In Funktionsarithmetik I hast du gelernt, dass die Multiplikation zweier Geraden eine Parabel ergibt (Grad 1 × 1 = 2). Jetzt gehe in die andere Richtung: Was passiert, wenn du eine quadratische Funktion durch eine Gerade dividierst?

Der Grad sinkt wieder — aber etwas Unerwartetes erscheint: eine Lücke im Graphen, wo Division durch Null auftritt. Das ist deine erste Begegnung mit einer Unstetigkeit, einer der wichtigsten Ideen in der Mathematik.

Frag die KI alles — probiere „Warum gibt es eine Lücke bei x = 2?" oder „Welchen Wert nähert sie sich an?"

Graph

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FAQ

Was passiert, wenn man zwei quadratische Funktionen addiert?
Die Addition zweier quadratischer Funktionen ergibt eine weitere quadratische Funktion — es sei denn, die x²-Terme heben sich auf. Zum Beispiel: x² + (−x² + 4) = 4, eine Konstante. Wenn sich die führenden Terme aufheben, sinkt der Grad.
Was passiert, wenn man eine quadratische durch eine lineare Funktion dividiert?
Wenn die lineare Funktion ein Faktor der quadratischen ist, erhält man eine einfachere Funktion (Grad 2 ÷ 1 = Grad 1). Aber es gibt eine Lücke an dem x-Wert, wo der Divisor Null ist, weil Division durch Null nicht definiert ist.
Was ist eine Unstetigkeit?
Eine Unstetigkeit ist ein Punkt, an dem eine Funktion nicht definiert ist oder einen Bruch aufweist. Eine hebbare Unstetigkeit (Lücke) tritt auf, wenn sich ein Faktor in einem Bruch kürzt — die Funktion nähert sich einem Wert, erreicht ihn aber an diesem bestimmten Punkt nie.
Was ist der Grad einer Funktion?
Der Grad ist die höchste Potenz von x. Lineare Funktionen haben Grad 1, quadratische Grad 2. Multiplikation addiert die Grade, Division subtrahiert sie. Dieses Muster regiert die gesamte Polynomalgebra.

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