Rationale Funktionen

Asymptoten, Lücken und das Verhalten von Brüchen

Eine rationale Funktion ist ein Bruch zweier Polynome, wie f(x) = 1/x. Der Graph zeigt die klassische Hyperbelform — die Kurve nähert sich den Achsen immer mehr an, berührt sie aber nie. Diese unsichtbaren Grenzlinien heißen Asymptoten.

Vertikale Asymptoten entstehen, wo der Nenner null ist (die Funktion ist nicht definiert). Horizontale Asymptoten beschreiben das Verhalten der Funktion, wenn x sehr groß wird. Manchmal kürzt sich ein Faktor weg und es entsteht eine Lücke statt einer Asymptote.

Frage die KI „Wo ist die Asymptote?" oder „Zeichne (x+1)/(x−2) und finde ihren Definitionsbereich."

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Was ist eine vertikale Asymptote?
Eine vertikale Asymptote ist eine senkrechte Linie x = a, bei der die Funktion gegen ±∞ strebt. Sie tritt auf, wenn der Nenner null wird (und der Zähler nicht). Bei 1/x ist die vertikale Asymptote x = 0.
Was ist eine horizontale Asymptote?
Eine horizontale Asymptote ist der Wert, dem y für x → ±∞ zustrebt. Bei 1/x gilt y → 0 für sehr großes x. Vergleiche die Grade von Zähler und Nenner: gleicher Grad → Verhältnis der führenden Koeffizienten; Zählergrad kleiner → y = 0.
Was ist eine Lücke in einer rationalen Funktion?
Eine Lücke entsteht, wenn ein gemeinsamer Faktor aus Zähler und Nenner gekürzt wird. Zum Beispiel vereinfacht sich (x−2)(x+1)/(x−2) zu x+1, aber bei x = 2 gibt es eine Lücke, da die ursprüngliche Funktion dort nicht definiert ist.
Was ist der Definitionsbereich einer rationalen Funktion?
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen außer den Stellen, wo der Nenner null ist. Für 1/(x−3) ist der Definitionsbereich alle x ≠ 3. Für 1/((x−1)(x+2)) werden x = 1 und x = −2 ausgeschlossen.
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.