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單位圓

沿著圓走一圈,發現sin和cos只不過是座標

單位圓是以原點為圓心、半徑為1的圓。 圓上的每一點都可以寫成 (\cos\theta, \sin\theta), 其中 θ 是從正x軸量起的角度。

這意味著餘弦就是x座標,正弦就是y座標。 這一個認識就能解鎖整個三角函數:不同象限的符號變化、 畢氏恆等式 \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, 以及每個關鍵角度的sin和cos值。

在這堂課中,你將沿著單位圓一個角度一個角度地走——從0°到360°——放置點 並讀出它們的座標。學完之後,sin和cos不再是抽象的公式;它們將是你能看到和觸摸的圓上的位置。

Graph

FAQ

什麼是單位圓?
單位圓是以原點 (0, 0) 為圓心、半徑恰好為1的圓。它的方程是 x^2 + y^2 = 1。之所以叫「單位」圓,是因為半徑是一個單位長。
正弦和餘弦與單位圓有什麼關係?
對於任意角 θ,單位圓上該角度對應的點的座標是 (\cos\theta, \sin\theta)。所以餘弦 = x座標正弦 = y座標。這就是sin和cos的幾何定義。
單位圓上有哪些關鍵角度?
關鍵角度是 0°、30°、45°、60°、90° 以及它們在各象限的對應角。在30°:(√3/2, 1/2)。在45°:(√2/2, √2/2)。在60°:(1/2, √3/2)。在90°:(0, 1)。這些值在其他象限以符號變化的形式重複。
弧度和角度有什麼區別?
角度和弧度是兩種量角方式。一整圓是 360°2π 弧度。轉換方法:角度乘以 \pi/180 得到弧度。所以 90° = π/2,180° = π,45° = π/4。高等數學中更常用弧度,因為它簡化了很多公式。