單位圓

沿著圓走一圈,發現sin和cos只不過是座標

單位圓是以原點為圓心、半徑為1的圓。 圓上的每一點都可以寫成 (\cos\theta, \sin\theta), 其中 θ 是從正x軸量起的角度。

這意味著餘弦就是x座標,正弦就是y座標。 這一個認識就能解鎖整個三角函數:不同象限的符號變化、 畢氏恆等式 \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, 以及每個關鍵角度的sin和cos值。

在這堂課中,你將沿著單位圓一個角度一個角度地走——從0°到360°——放置點 並讀出它們的座標。學完之後,sin和cos不再是抽象的公式;它們將是你能看到和觸摸的圓上的位置。

什麼是單位圓?
單位圓是以原點 (0, 0) 為圓心、半徑恰好為1的圓。它的方程是 x^2 + y^2 = 1。之所以叫「單位」圓,是因為半徑是一個單位長。
正弦和餘弦與單位圓有什麼關係?
對於任意角 θ,單位圓上該角度對應的點的座標是 (\cos\theta, \sin\theta)。所以餘弦 = x座標正弦 = y座標。這就是sin和cos的幾何定義。
單位圓上有哪些關鍵角度?
關鍵角度是 0°、30°、45°、60°、90° 以及它們在各象限的對應角。在30°:(√3/2, 1/2)。在45°:(√2/2, √2/2)。在60°:(1/2, √3/2)。在90°:(0, 1)。這些值在其他象限以符號變化的形式重複。
弧度和角度有什麼區別?
角度和弧度是兩種量角方式。一整圓是 360°2π 弧度。轉換方法:角度乘以 \pi/180 得到弧度。所以 90° = π/2,180° = π,45° = π/4。高等數學中更常用弧度,因為它簡化了很多公式。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.