二次方程式

公式解用於解 ax² + bx + c = 0：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a。它適用於任何二次方程式，即使因式分解困難也能使用。

對於標準式 y = ax² + bx + c，頂點的x座標為 x = −b/(2a)，將x代入方程式即可求得y。在頂點式 y = a(x − h)² + k 中，頂點就是 (h, k)。

判別式 Δ = b² − 4ac 揭示了根的性質。Δ > 0 時，拋物線與x軸有兩個交點；Δ = 0 時，恰好相切於一點（即頂點）；Δ < 0 時，拋物線不與x軸相交——方程式無實數解。

頂點式為 y = a(x − h)² + k，其中 (h, k) 就是頂點。它便於畫圖：可以直接讀出頂點位置，a 控制拋物線的寬度和方向。

透過AI教學，互動式探索和理解拋物線

二次方程式的標準形式為 $y = ax² + bx + c$ ，其中 a、b、c 為常數且 a ≠ 0。它的圖形是一條拋物線——一條對稱的U形曲線，當 a > 0 時開口向上，當 a < 0 時開口向下。

頂點是拋物線的最高點或最低點，位於 $x = -b / (2a)$ 。判別式 $Δ = b² - 4ac$ 決定了實數根的個數： Δ > 0 時有兩個實根，Δ = 0 時有一個重根，Δ < 0 時無實根。

使用下方的滑桿調節 a、b、c，觀察拋物線如何變化。向AI提問——試試「a變成負數會怎樣？」或「幫我求頂點」。

什麼是公式解（求根公式）？

公式解用於解 ax² + bx + c = 0：

x = (-b \pm \sqrt(b² - 4ac)) / 2a

。它適用於任何二次方程式，即使因式分解困難也能使用。

如何求拋物線的頂點？

對於標準式 y = ax² + bx + c，頂點的x座標為

x = -b/(2a)

，將x代入方程式即可求得y。在頂點式 y = a(x − h)² + k 中，頂點就是 (h, k)。

判別式有什麼用？

判別式

Δ = b² - 4ac

揭示了根的性質。Δ > 0 時，拋物線與x軸有兩個交點；Δ = 0 時，恰好相切於一點（即頂點）；Δ < 0 時，拋物線不與x軸相交——方程式無實數解。

什麼是頂點式？為什麼有用？

頂點式為

y = a(x - h)² + k

，其中 (h, k) 就是頂點。它便於畫圖：可以直接讀出頂點位置，a 控制拋物線的寬度和方向。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.