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正弦與餘弦

透過滑桿逐步探索振幅、週期和相移

正弦函數 y = \sin(x) 產生一條平滑的波浪, 每 2\pi 個單位重複一次。它是數學中最重要的函數之一—— 用於描述聲波、光波、潮汐以及一切振盪現象。

在這堂課中,你將透過三個滑桿探索一般正弦函數 y = a \cdot \sin(bx + c)a 控制振幅(高度),b 控制頻率(有多少個波), c 控制相移(左右平移)。灰色參考波 y = \sin(x) 始終顯示在螢幕上,方便你隨時比較。

課程結束時,你還將看到餘弦不過是平移後的正弦—— 同一條波,不同的起點。

Graph

FAQ

什麼是正弦函數?
正弦函數 y = \sin(x) 接收一個角度(弧度),返回 -1 到 1 之間的值。它產生平滑的重複波形,在 0、π、2π 等處過零,在 π/2 處達到最大值 1,在 3π/2 處達到最小值 -1。它是三角學和波動物理的基礎。
什麼是振幅、週期和相移?
對於 y = a \sin(bx + c)振幅 = |a|,波從中心到峰值的高度。週期 = 2π/|b|,完成一個完整週期的水平距離。相移 = -c/b,波左右滑動的距離。這三個參數控制波形的形狀和位置的方方面面。
正弦和餘弦有什麼區別?
餘弦就是正弦向左平移 π/2:\cos(x) = \sin(x + \pi/2)。它們有相同的波形、相同的振幅、相同的週期——唯一的區別是起點不同。正弦從 0 開始,餘弦從 1 開始。在單位圓上,正弦是 y 座標,餘弦是 x 座標。
正弦與單位圓有什麼關係?
單位圓上,正弦是角度 θ 處點的 y 座標,餘弦是 x 座標。當 θ 從 0 增加到 2π 時,y 座標描繪出正弦波。這就是為什麼 sin(0) = 0,sin(π/2) = 1,sin(π) = 0,sin(3π/2) = -1。