正弦與餘弦

透過滑桿逐步探索振幅、週期和相移

正弦函數 y = \sin(x) 產生一條平滑的波浪， 每 2\pi 個單位重複一次。它是數學中最重要的函數之一—— 用於描述聲波、光波、潮汐以及一切振盪現象。

在這堂課中，你將透過三個滑桿探索一般正弦函數 y = a \cdot \sin(bx + c)： a 控制振幅（高度），b 控制頻率（有多少個波）， c 控制相移（左右平移）。灰色參考波 y = \sin(x) 始終顯示在螢幕上，方便你隨時比較。

課程結束時，你還將看到餘弦不過是平移後的正弦—— 同一條波，不同的起點。

相關主題

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Suggested Lessons

Slope Quadratic Equations Unit Circle Word Problems
什麼是正弦函數？
正弦函數 y = \sin(x) 接收一個角度（弧度），返回 -1 到 1 之間的值。它產生平滑的重複波形，在 0、π、2π 等處過零，在 π/2 處達到最大值 1，在 3π/2 處達到最小值 -1。它是三角學和波動物理的基礎。
什麼是振幅、週期和相移？
對於 y = a \sin(bx + c)：振幅 = |a|，波從中心到峰值的高度。週期 = 2π/|b|，完成一個完整週期的水平距離。相移 = -c/b，波左右滑動的距離。這三個參數控制波形的形狀和位置的方方面面。
正弦和餘弦有什麼區別？
餘弦就是正弦向左平移 π/2：\cos(x) = \sin(x + \pi/2)。它們有相同的波形、相同的振幅、相同的週期——唯一的區別是起點不同。正弦從 0 開始，餘弦從 1 開始。在單位圓上，正弦是 y 座標，餘弦是 x 座標。
正弦與單位圓有什麼關係？
在單位圓上，正弦是角度 θ 處點的 y 座標，餘弦是 x 座標。當 θ 從 0 增加到 2π 時，y 座標描繪出正弦波。這就是為什麼 sin(0) = 0，sin(π/2) = 1，sin(π) = 0，sin(3π/2) = -1。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.