有理函数

渐近线、空穴与分式的行为

有理函数是两个多项式的分式，例如 f(x) = 1/x。图像呈现经典的双曲线形状——曲线无限接近坐标轴但永不相交。那些看不见的边界线叫做渐近线。

竖直渐近线出现在分母为零处（函数无意义）。水平渐近线描述 x 趋向无穷大时函数的行为。有时因子可以约分，产生空穴而不是渐近线。

向AI提问"渐近线在哪里？"或"画出 (x+1)/(x−2) 并求其定义域。"

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多项式函数双曲线极限是什么？

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什么是竖直渐近线？
竖直渐近线是竖线 x = a，函数在此处趋向 ±∞。它出现在分母为零（分子不为零）处。对于 1/x，竖直渐近线是 x = 0。
什么是水平渐近线？
水平渐近线是当 x → ±∞ 时 y 趋向的值。对于 1/x，当 x 非常大时 y → 0。比较分子和分母的次数：次数相同时取首项系数之比；分子次数较低时 y = 0。
什么是有理函数的空穴？
当分子和分母都含有相同因子时可以约分，产生空穴。例如，(x−2)(x+1)/(x−2) 化简为 x+1，但在 x = 2 处有空穴，因为原函数在此无定义。
有理函数的定义域是什么？
定义域是除分母为零的点之外的所有实数。对于 1/(x−3)，定义域是所有 x ≠ 3。对于 1/((x−1)(x+2))，定义域排除 x = 1 和 x = −2。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.