多项式函数

次数、根和端行为——尽在一张图中

多项式是各项之和，每项是常数乘以 x 的幂：f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0。最高次数称为次数，其系数 an 称为首项系数。

次数和首项系数控制端行为——x 趋向正负无穷时函数的走向。奇次多项式一端升一端降；偶次多项式两端同向。

在这节课中，你将用滑块探索2次、3次、4次多项式，发现根的个数与次数的关系，以及首项系数如何翻转曲线。

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Suggested Lessons

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什么是多项式函数？
多项式函数的形式是 f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0，各 ai 是常数，n 是非负整数，称为次数。
什么是多项式的次数？
次数是具有非零系数的 x 的最高幂。它决定了最大根数和大致形状。
什么是端行为？
端行为描述 x → ∞ 和 x → −∞ 时 f(x) 的走向。偶次正首项系数：两端向上；奇次正首项系数：左降右升。负首项系数则相反。
多项式最多有几个根？
n 次多项式最多有 n 个实数根（x轴交点）。如 x² + 1 次数为2但没有实数根。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.