双曲线

双曲线是有两个分支的圆锥曲线。标准形式 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 向左右打开。减号使它区别于椭圆。

渐近线是 y = \pm \frac{b}{a} x。双曲线在 x → ±∞ 时无限接近但永不触碰。

焦点在 (\pm c, 0)，其中 c = \sqrt{a^2 + b^2}。注意是加号——所以焦点总在顶点外面。

双曲线上任一点 P，|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a。距离之差的绝对值恒等于 2a。

渐近线、焦点，以及曲线为何永不相触

双曲线看起来像两条镜像对称的曲线向相反方向打开。方程是 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ——注意减号，这使它区别于椭圆（用加号）。

每条双曲线有渐近线——曲线无限接近但永不触碰的直线。它也有两个焦点，其定义性质：曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值是常数。

在这节课中，你将用滑块改变双曲线形状，观察渐近线变化，找到焦点，发现从GPS卫星到阴影形状的应用。

什么是双曲线？

双曲线是有两个分支的圆锥曲线。标准形式

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

向左右打开。减号使它区别于椭圆。

什么是双曲线的渐近线？

渐近线是

y = \pm \frac{b}{a} x

。双曲线在 x → ±∞ 时无限接近但永不触碰。

如何找双曲线的焦点？

焦点在

(\pm c, 0)

，其中

c = \sqrt{a^2 + b^2}

。注意是加号——所以焦点总在顶点外面。

什么是恒差性质？

双曲线上任一点 P，

|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a

。距离之差的绝对值恒等于 2a。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.