參數方程

參數方程透過將 x 和 y 都表示為第三個變數 t 的函數來定義曲線。這讓你可以畫出用 y = f(x) 無法畫出的形狀。

圓：(cos t, sin t)。橢圓：(a·cos t, b·sin t)。利薩如圖形：(cos(at), sin(bt))。擺線：(t - sin t, 1 - cos t)。

畫出普通函數無法畫出的圓、橢圓、心形和曲線

大多數你見過的函數形如 y = f(x)——每個 x 對應一個 y。但圓、環和自身交叉的曲線怎麼辦？它們需要不同的方法：參數方程。

x 和 y 不再互相依賴，而是都依賴於第三個變數 t（時間）。經典例子是 $x = \cos(t),\; y = \sin(t)$ ——點描繪出一個完美的圓。

在這堂課中，你將從圓開始，拉伸成橢圓，創建利薩如圖形，甚至畫出一顆心。

什麼是參數方程？

參數方程透過將 x 和 y 都表示為第三個變數 t 的函數來定義曲線。這讓你可以畫出用 y = f(x) 無法畫出的形狀。

參數 t 如何像時間？

把 t 想像成時間：在每個時刻 t，一個點位於 (x(t), y(t))，隨時間移動並畫出軌跡。

參數方程和普通方程有什麼區別？

普通方程 y = f(x) 對每個 x 給一個 y。參數方程可以產生圓、八字形和螺旋等曲線。

有哪些著名的參數曲線？

圓：(cos t, sin t)。橢圓：(a·cos t, b·sin t)。利薩如圖形：(cos(at), sin(bt))。擺線：(t - sin t, 1 - cos t)。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.