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A Hipérbole

Assíntotas, focos e por que a curva nunca toca

Uma hipérbole parece duas curvas em imagem espelhada abrindo em direções opostas. Sua equação é \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 — note o sinal de menos, que é o que a torna diferente de uma elipse (que tem sinal de mais).

Toda hipérbole tem assíntotas — retas que a curva se aproxima infinitamente mas nunca toca. Ela também tem dois focos, e uma propriedade definidora: a diferença absoluta das distâncias de qualquer ponto na curva aos dois focos é constante.

Nesta aula, você usará controles deslizantes para a e b para remodelar a hipérbole, verá como as assíntotas mudam, localizará os focos e descobrirá aplicações de satélites GPS à forma das sombras.

Graph

FAQ

O que é uma hipérbole?
Uma hipérbole é uma seção cônica com dois ramos separados. A forma padrão \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 abre para esquerda e direita. O sinal de menos é o que a distingue de uma elipse. A distância entre os dois vértices é 2a.
O que são as assíntotas de uma hipérbole?
As assíntotas são as retas y = \pm \frac{b}{a} x. A hipérbole se aproxima infinitamente dessas retas conforme x → ±∞, mas nunca as toca. Elas formam um "X" que guia a direção da curva.
Como encontro os focos de uma hipérbole?
Para uma hipérbole \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, os focos estão em (\pm c, 0) onde c = \sqrt{a^2 + b^2}. Note o sinal de mais — para uma elipse é menos, mas para hipérbole é mais, então os focos estão sempre fora dos vértices.
O que é a propriedade da diferença constante?
Para qualquer ponto P na hipérbole, |d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a. A diferença absoluta das distâncias aos dois focos é sempre 2a. Isso contrasta com a elipse, onde a soma (não a diferença) é constante.