心形曲線

用參數方程式畫一顆心——數學原來這麼美！

這顆紅色的心完全由數學描繪而成。參數方程式用正弦和餘弦在參數 t 從 0 到 2π 變化時追蹤心形：

x(t) = 16 sin³(t)
y(t) = 13 cos(t) − 5 cos(2t) − 2 cos(3t) − cos(4t)

這些係數可不是隨機的——每個餘弦項都在塑造心形的不同特徵。數學能創作出令人驚嘆的視覺藝術。也可以請 AI 為你畫蝴蝶、花朵或螺旋線！

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參數方程式正弦與餘弦單位圓

Suggested Lessons

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這個方程式為什麼能畫出心形？
x 方程式用 sin³(t) 創造出左右對稱的兩葉。y 方程式組合了不同頻率的多個餘弦項——每一項都在精細調整形狀。cos(t) 給出基本的頂部，cos(2t) 刻出凹口，cos(3t) 和 cos(4t) 使底部尖點更銳利。
什麼是參數方程式？
與 y = f(x) 不同，參數方程式將 x 和 y 分別定義為參數 t 的函數。隨著 t 增大，點 (x(t), y(t)) 描出一條曲線。這讓你能畫出不是函數的形狀——比如圓和心形，它們不通過垂線測試。
數學還能畫什麼形狀？
當然！蝴蝶曲線、玫瑰線（極座標中 r = cos(nθ)）、李薩如圖形、螺旋線（阿基米德螺旋、對數螺旋），甚至用傅立葉級數近似任意形狀。數學是最強大的繪圖工具之一。
怎麼修改這顆心？
將方程式乘以一個常數可以改變大小。加上偏移量可以改變位置。將 x 乘以一個因子可以使它更寬或更窄。改變 y 方程式中的係數可以改變心形的比例。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.