函數交點計算器

圖形化即時找到任意兩個函數的交點

兩個函數 f(x) 和 g(x) 在輸出值相同的地方相交——即 f(x) = g(x) 的位置。在圖形上，這些是兩條曲線交叉或相切的點。

這等價於求解 f(x) − g(x) = 0，即找到差函數的根。本工具可處理任意函數對：直線與拋物線、正弦與餘弦、指數與線性——無需代數運算。

在聊天中輸入兩個函數。AI會繪製兩條曲線，找到視窗內所有交點，並標註每個交叉點的 (x, y) 座標。

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如何找到兩個函數的交點？
令 f(x) = g(x) 並求解 x。在圖形上，這就是兩條曲線交叉的位置。代數上，等價於求 h(x) = f(x) − g(x) = 0 的根。求出 x 值後，代入任一函數即可得到 y 座標。
可以找到直線與拋物線的交點嗎？
可以——令直線 = 拋物線：例如 2x + 1 = x² 變為 x² − 2x − 1 = 0，用求根公式求解。可能有0個、1個或2個交點。AI會圖形化找到所有交點並解釋代數過程。
如果兩個函數不相交怎麼辦？
如果 f(x) − g(x) 在視窗內沒有實數根，則兩個函數在該區域內不相交。嘗試縮小視圖。有些函數對（如 eˣ 和 x²）交點有限；其他的（如 sin(x) 和 cos(x)）有無窮多個交點。
這與求解方程組有什麼關係？
求 y = f(x) 和 y = g(x) 的交點就是求解方程組：{y = f(x), y = g(x)}。圖形解就是兩條曲線相遇的點——x 值是解，y 值是兩個函數在該點的值。
在相切交點處會發生什麼？
當兩條曲線相切——在一點接觸但不交叉——該點是 f(x) − g(x) = 0 的重根。差函數在零點處不變號。這些交點在數值上更難找到，可能需要放大查看。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.