函數合成

函數合成是將一個函數應用於另一個函數的結果。寫作 (f ∘ g)(x) = f(g(x))，意思是：先對 x 應用 g，再對結果應用 f。

是的，幾乎總是如此。f(g(x)) 和 g(f(x)) 通常是不同的函數。例如，先平方後加 3 與先加 3 後平方結果不同。

尋找「內層」和「外層」運算。對於 h(x) = √(2x + 1)，內層函數是 g(x) = 2x + 1，外層函數是 f(x) = √x，所以 h = f(g(x))。

將函數鏈接在一起——把一個的輸出送入另一個的輸入

函數合成是將一個函數的輸出送入另一個函數。如果 $f(x) = x²$ 且 $g(x) = x + 3$ ，則 $f(g(x)) = (x + 3)²$ ——先加 3，再平方。

順序很重要：一般情況下 $f(g(x)) \neq g(f(x))$ 。用同樣的函數， $g(f(x)) = x² + 3$ ——先平方，再加 3。圖形使差異一目了然。

向AI提問，試試「f(g(2)) 是多少？」或「分解 h(x) = sqrt(2x + 1)。」

什麼是函數合成？

函數合成是將一個函數應用於另一個函數的結果。寫作

(f \circ g)(x) = f(g(x))

，意思是：先對 x 應用 g，再對結果應用 f。

合成的順序重要嗎？

是的，幾乎總是如此。

f(g(x))

和

g(f(x))

通常是不同的函數。例如，先平方後加 3 與先加 3 後平方結果不同。

如何分解複合函數？

尋找「內層」和「外層」運算。對於

h(x) = \sqrt(2x + 1)

，內層函數是 g(x) = 2x + 1，外層函數是 f(x) = √x，所以 h = f(g(x))。

合成有哪些現實世界的例子？

攝氏溫度轉華氏溫度再轉燃氣費，先打折再計稅，或在地圖上先放大再旋轉——任何時候你把兩個過程串聯起來，都是合成。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.