反函數

反函數 f⁻¹(x) 「撤銷」原函數 f(x)。如果 f 把輸入 a 映射到輸出 b，那麼 f⁻¹ 把 b 映回 a。形式上，f(f⁻¹(x)) = x 且 f⁻¹(f(x)) = x。

函數有反函數當且僅當它是一對一函數——每個輸出只對應一個輸入。水平線測試可以驗證：如果任意水平線與圖形交於多點，該函數沒有反函數（除非限制定義域）。

找到「撤銷」另一個函數的函數——關於 y = x 進行反射

反函數把原函數的操作倒過來。如果 $f(x) = 2x + 3$ 把 2 變成 7，那麼 $f⁻¹(x)$ 把 7 變回 2。

求反函數的方法：交換 x 和 y，然後解出 y。 $f⁻¹$ 的圖形是 f 關於直線 $y = x$ 的鏡像。

並非每個函數都有反函數——它必須通過水平線測試。向AI提問，試試「求 f(x) = 3x − 1 的反函數」或「為什麼 x² 沒有反函數？」

什麼是反函數？

反函數

f⁻¹(x)

「撤銷」原函數 f(x)。如果 f 把輸入 a 映射到輸出 b，那麼 f⁻¹ 把 b 映回 a。形式上，

f(f⁻¹(x)) = x

且

f⁻¹(f(x)) = x

。

如何求反函數？

寫出 y = f(x)，交換 x 和 y 得 x = f(y)，然後解出 y。例如：y = 2x + 3 變為 x = 2y + 3，解得 y = (x − 3)/2。所以

f⁻¹(x) = (x - 3)/2

。

為什麼反函數是關於 y = x 的反射？

當你把 f 上每個點 (a, b) 的 x 和 y 互換時，得到 f⁻¹ 上的 (b, a)。變換 (a, b) → (b, a) 正好是關於直線 y = x 的反射。

什麼情況下反函數不存在？

函數有反函數當且僅當它是一對一函數——每個輸出只對應一個輸入。水平線測試可以驗證：如果任意水平線與圖形交於多點，該函數沒有反函數（除非限制定義域）。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.