欧拉法

用微小的直线段逐步构建解曲线

欧拉法通过迈小步来近似微分方程 dy/dx = f(x, y) 的解。在每个点,导数告诉你斜率——沿那个方向画一小段直线,然后从新点重复。

我们从经典例子开始:dy/dx = y,起点为 (0, 1)。精确解是 y = eˣ,但欧拉法只用加法和乘法就能构建近似解——不需要执行微积分运算。

步长越小,近似越接近真实曲线。试着问 AI "用 h = 0.5 走5步""比较 h = 1 和 h = 0.1"。

欧拉法如何工作?
从已知点 (x₀, y₀) 开始。导数 dy/dx = f(x, y) 给出该点的斜率。迈一步:x₁ = x₀ + h,y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀)。从 (x₁, y₁) 重复。每一步都是沿斜率方向的微小直线段。
什么是步长 h?
步长 h 控制每次迭代的前进距离。较小的 h 精度更高(线段更紧密跟随曲线)但需要更多步骤。较大的 h 速度更快但精度较低——直线段会抄近路。
为什么欧拉法不能给出精确答案?
每一步都假设斜率在整个区间内是常数,但斜率实际上是连续变化的。这在每一步都会引入误差,且误差会累积。就像导航时每100米和每10米检查一次方向的区别。
这在哪里应用?
当微分方程无法精确求解时(大多数实际问题都无法精确求解),欧拉法等数值方法就至关重要了。天气预报、火箭轨迹、种群模型和电路模拟都用到了这个思想的变体。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.