橢圓

橢圓是被拉伸的圓，方程為 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1。a 是水平半軸，b 是垂直半軸。當 a = b 時變成圓。

焦點是橢圓內部兩個特殊點。焦點在 (\pm c, 0)，其中 c = \sqrt{a^2 - b^2}。定義性質：橢圓上任一點到兩焦點的距離之和 = 2a。

離心率 e = \frac{c}{a} 衡量橢圓有多扁。e = 0 時是圓，e 接近 1 時非常扁長。

弦性質：橢圓上任意點 P 到兩焦點的距離之和總是 2a。

焦點、離心率和弦性質——一個滑桿接一個滑桿

橢圓就像一個被拉伸的圓。方程是 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中 a 是水平半徑，b 是垂直半徑。當 a = b 時，你得到一個完美的圓。

每個橢圓有兩個特殊的內部點叫做焦點。神奇的性質：橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和總是相同的。

在這節課中，你將用滑桿探索 a 和 b 如何改變橢圓形狀，找到焦點，驗證弦性質，並發現離心率。

什麼是橢圓？

橢圓是被拉伸的圓，方程為

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

。a 是水平半軸，b 是垂直半軸。當 a = b 時變成圓。

什麼是橢圓的焦點？

焦點是橢圓內部兩個特殊點。焦點在

(\pm c, 0)

，其中

c = \sqrt{a^2 - b^2}

。定義性質：橢圓上任一點到兩焦點的距離之和 = 2a。

什麼是離心率？

離心率

e = \frac{c}{a}

衡量橢圓有多扁。e = 0 時是圓，e 接近 1 時非常扁長。

什麼是橢圓的弦性質？

弦性質：橢圓上任意點 P 到兩焦點的距離之和總是 2a。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.