平方完成

平方完成とは、二次式が完全平方式を含む形に書き直すことです。x² + bx + c を (x + b/2)² + (c − b²/4) に変換することで放物線の頂点が分かります。

頂点公式 x = −b/(2a) はまさに平方完成から導かれます。この手法を理解することで公式がなぜ機能するかの深い洞察が得られ、解の公式を導くためにも不可欠です。

まず最初の2項から a を括り出します：ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c。次に括弧内で平方完成を行い、定数を調整します。

標準形を頂点形式に変換して頂点を見つけよう

平方完成は $ax² + bx + c$ を頂点形式 $a(x - h)² + k$ に書き換える手法です。頂点形式では、頂点 (h, k) を式から直接読み取れます——公式不要です。

基本的なアイデア：x の係数を取り、2で割り、2乗します。 $x² + 6x$ の場合、6の半分は3で、3² = 9。定数が5のとき、9を加えて引くと $(x + 3)² - 4$ になります。

この授業ではグラフで視覚的に過程を確認できます。AIに 「なぜこれが機能するの？」 や 「x² − 4x + 1 を平方完成して」 と聞いてみましょう。

平方完成とはどういう意味？

平方完成とは、二次式が完全平方式を含む形に書き直すことです。

x² + bx + c

を

(x + b/2)² + (c - b²/4)

に変換することで放物線の頂点が分かります。

頂点公式を使えばいいのでは？

頂点公式

x = -b/(2a)

はまさに平方完成から導かれます。この手法を理解することで公式がなぜ機能するかの深い洞察が得られ、解の公式を導くためにも不可欠です。

平方完成はいつ必要？

標準形から頂点形式への変換、解の公式の導出、微積分の積分、円・楕円の方程式を標準形に書き直すときに必要です。代数で最も有用な手法の一つです。

a が1でない場合は？

まず最初の2項から a を括り出します：

ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c

。次に括弧内で平方完成を行い、定数を調整します。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.