Quadratische Ergänzung

Normalform in Scheitelpunktform umwandeln und den Scheitelpunkt ablesen

Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, die ax² + bx + c in die Scheitelpunktform a(x − h)² + k umschreibt. In der Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt (h, k) direkt abgelesen werden — ohne Formel.

Die Grundidee: Nimm den Koeffizienten von x, halbiere ihn und quadriere das Ergebnis. Für x² + 6x ist die Hälfte von 6 gleich 3, und 3² = 9. Addiere und subtrahiere 9, um bei der Konstante 5 die Form (x + 3)² − 4 zu erhalten.

Diese Lektion zeigt den Prozess visuell auf dem Graphen. Frage die KI alles — probiere „Warum funktioniert das?" oder „Führe quadratische Ergänzung für x² − 4x + 1 durch."

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Suggested Lessons

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Was bedeutet quadratische Ergänzung?
Quadratische Ergänzung bedeutet, einen quadratischen Ausdruck so umzuschreiben, dass er ein vollständiges Quadrat enthält. Man formt x² + bx + c in (x + b/2)² + (c − b²/4) um. Dadurch wird der Scheitelpunkt der Parabel sichtbar.
Warum nicht einfach die Scheitelpunktformel verwenden?
Die Scheitelpunktformel x = −b/(2a) stammt genau aus der quadratischen Ergänzung. Das Verstehen der Technik gibt ein tieferes Verständnis dafür, warum die Formel funktioniert, und sie ist unerlässlich für die Herleitung der allgemeinen Lösungsformel.
Wann brauche ich die quadratische Ergänzung?
Du brauchst sie zum Umwandeln von Normal- in Scheitelpunktform, zur Herleitung der Lösungsformel, bei bestimmten Integralen in der Analysis und zum Umschreiben von Kreis-/Ellipsengleichungen in Normalform. Sie ist eine der nützlichsten algebraischen Techniken.
Was, wenn a nicht 1 ist?
Klammere zunächst a aus den ersten beiden Termen aus: ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c. Dann führe quadratische Ergänzung innerhalb der Klammern durch und passe die Konstante an.
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.