曲線間面積計算器

找任意兩個函數之間的精確封閉面積

兩條曲線 f(x) 和 g(x) 在區間 [a, b] 上的曲線間面積為:

A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx

當曲線形成封閉區域(在兩個或更多點相交)時,面積自動在交點之間計算——無需指定邊界。

這個附圖形的曲線間面積計算器在互動圖形上視覺化顯示該區域——即時看到曲線、交點和著色的封閉面積。輸入兩個函數,AI 找出交點、計算精確面積並在圖形上標示。可縮放和平移探索。適用於多項式、三角函數、指數函數——任意函數對。

如何找兩條曲線之間的面積?
第一步:找曲線的交點(令 f(x) = g(x))。第二步:在交點之間積分 |f(x) − g(x)|。此計算器自動完成兩個步驟——只需提供兩個函數。
如果曲線交叉多次怎麼辦?
計算器找出所有交點,分別計算每個封閉區域的面積,再給出總計。每個區域都列出其邊界和面積。
面積「發散」是什麼意思?
如果兩條曲線只交叉一次(或從不交叉),它們在至少一個方向上發散至無窮大。封閉面積是無限的——它們之間沒有有限的「面積」。計算器會偵測到並告知你。
我可以指定範圍而不是使用交點嗎?
可以。說「x^2 和 2x 在 0 到 3 之間的面積」,計算器就在該區間內積分。不指定邊界時,自動使用交點。
這適用於三角函數嗎?
適用。例如,sin(x) 和 cos(x) 在 0 到 2π 之間的面積由多個封閉區域組成。計算器找出所有交點並計算每個區域。
為什麼要使用帶圖形的曲線間面積計算器?
圖形精確顯示正在測量哪個區域——你可以看到兩條曲線、交點和視覺化的封閉面積。這使理解積分的含義更容易,也更容易發現錯誤。你還可以放大看曲線如何交叉以及面積集中在哪裡。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.