曲线间面积计算器

求任意两个函数之间的精确封闭面积

函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上的曲线间面积为:

A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx

当曲线形成封闭区域(在两个或多个点相交)时,面积自动在交点之间计算——无需指定范围。

这个带图形的曲线间面积计算器在交互图形上直观显示区域——实时查看曲线、交点和阴影封闭区域。输入两个函数,AI找到交点、计算精确面积并在图形上标出。支持多项式、三角函数、指数函数——任意一对函数均可。

如何求两条曲线之间的面积?
第1步:找到曲线的交点(令 f(x) = g(x))。第2步:在交点之间对 |f(x) − g(x)| 积分。本计算器自动完成这两步——只需给出两个函数。
如果曲线多次相交怎么办?
计算器找到所有交点,分别计算每个封闭区域的面积,然后给出总面积。每个区域都列出其范围和面积。
"面积发散"是什么意思?
如果两条曲线只相交一次(或从不相交),它们至少在一个方向上趋向无穷。封闭面积是无限的——两者之间没有有限的"面积"。计算器会检测到这种情况并告知你。
可以指定范围而不用交点吗?
可以。说"从0到3的 x^2 和 2x 之间的面积",计算器将在该区间上积分。不指定范围时,自动使用交点。
支持三角函数吗?
支持。例如,sin(x) 和 cos(x) 从 0 到 2π 之间的面积由多个封闭区域组成。计算器找到所有交点并计算每个区域。
为什么要使用带图形的曲线间面积计算器?
图形精确显示正在测量的区域——你可以看到两条曲线、交点和视觉化的封闭面积。这使你更容易理解积分的含义并发现错误。你还可以放大查看曲线如何相交以及面积集中在哪里。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.