弧長計算器

測量任意曲線在兩點之間的精確長度

曲線 y = f(x) 從 x = a 到 x = b 的弧長為:

L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx

對於參數曲線 (x(t), y(t)):

L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt

這個附圖形的弧長計算器在互動圖形上標示曲線段——精確看到正在測量曲線的哪一部分。輸入任意函數和範圍,AI 使用數值積分計算精確弧長。可縮放、平移,視覺化探索曲線。適用於多項式、三角函數、指數函數和參數曲線。

什麼是弧長?
弧長是沿曲線在兩點之間的距離——如果你把曲線「拉直」,那就是它的弧長。弧長總是大於或等於端點之間的直線距離。
弧長如何計算?
弧長公式將 \sqrt{1 + [f'(x)]^2} 從 a 積分到 b。直觀上,在每個微小段 dx,曲線上升 f'(x)·dx,因此段長度為 \sqrt{dx^2 + dy^2}。求和得到總弧長。
我可以計算參數曲線的弧長嗎?
可以。輸入參數曲線如「(cos(t), sin(t))」和範圍如「t from 0 to 2pi」。公式改用 \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}
如果未給定邊界怎麼辦?
弧長需要邊界——沒有邊界,任何非常數函數的長度都是無限的。指定「從 a 到 b」,或計算器使用當前視窗範圍。
計算有多精確?
計算器使用 500 個子區間的辛普森法則,對光滑函數精確到約 6 位小數。這對所有實際和教育用途已超過足夠。
為什麼要使用帶圖形的弧長計算器?
圖形精確顯示正在測量曲線的哪一部分。你可以看到曲線、端點,並直觀理解為什麼曲線比其端點之間的直線距離更長。互動縮放和平移讓你詳細探索曲線的形狀。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.