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AI Assistant

弧長計算器

測量任意曲線在兩點之間的精確長度

曲線 y = f(x) 從 x = a 到 x = b 的弧長為:

L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx

對於參數曲線 (x(t), y(t)):

L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt

這個附圖形的弧長計算器在互動圖形上標示曲線段——精確看到正在測量曲線的哪一部分。輸入任意函數和範圍,AI 使用數值積分計算精確弧長。可縮放、平移,視覺化探索曲線。適用於多項式、三角函數、指數函數和參數曲線。

Graph

FAQ

什麼是弧長?
弧長是沿曲線在兩點之間的距離——如果你把曲線「拉直」,那就是它的弧長。弧長總是大於或等於端點之間的直線距離。
弧長如何計算?
弧長公式將 \sqrt{1 + [f'(x)]^2} 從 a 積分到 b。直觀上,在每個微小段 dx,曲線上升 f'(x)·dx,因此段長度為 \sqrt{dx^2 + dy^2}。求和得到總弧長。
我可以計算參數曲線的弧長嗎?
可以。輸入參數曲線如「(cos(t), sin(t))」和範圍如「t from 0 to 2pi」。公式改用 \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}
如果未給定邊界怎麼辦?
弧長需要邊界——沒有邊界,任何非常數函數的長度都是無限的。指定「從 a 到 b」,或計算器使用當前視窗範圍。
計算有多精確?
計算器使用 500 個子區間的辛普森法則,對光滑函數精確到約 6 位小數。這對所有實際和教育用途已超過足夠。
為什麼要使用帶圖形的弧長計算器?
圖形精確顯示正在測量曲線的哪一部分。你可以看到曲線、端點,並直觀理解為什麼曲線比其端點之間的直線距離更長。互動縮放和平移讓你詳細探索曲線的形狀。