弧长计算器

精确测量两点之间任意曲线的长度

曲线 y = f(x) 从 x = a 到 x = b 的弧长为：

L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx

对于参数曲线 (x(t), y(t))：

L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt

这个带图形的弧长计算器在交互图形上高亮显示曲线段——精确看到正在测量的部分。输入任意函数和范围，AI使用数值积分计算精确弧长。支持多项式、三角函数、指数函数和参数曲线。

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什么是弧长？
弧长是曲线上两点之间沿曲线的距离——如果把曲线"拉直"，那就是它的弧长。弧长总是大于或等于两端点之间的直线距离。
弧长是如何计算的？
弧长公式对 \sqrt{1 + [f'(x)]^2} 从 a 到 b 积分。直觉上，在每个微小段 dx 处，曲线上升 f'(x)·dx，所以段长为 \sqrt{dx^2 + dy^2}。对这些求和就得到总弧长。
可以计算参数曲线的弧长吗？
可以。输入参数曲线如"(cos(t), sin(t))"和范围如"t 从 0 到 2pi"。公式改用 \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}。
不给定范围会怎样？
弧长需要范围——没有范围，任何非常数函数的长度都是无限的。请指定"从 a 到 b"，或者计算器使用当前视窗范围。
计算精度如何？
计算器使用500个子区间的辛普森法则，对于光滑函数精度约达6位小数。对所有实际和教育目的已绰绰有余。
为什么要使用带图形的弧长计算器？
图形精确显示正在测量的曲线部分。你可以看到曲线、端点，并直观理解为什么曲线比两端点之间的直线更长。交互式缩放和平移让你详细探索曲线的形状。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.