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弧長計算機

2点間の任意の曲線の正確な長さを計測

x = a から x = b までの曲線 y = f(x) の弧長は次のようになります：

L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx

媒介変数曲線 (x(t), y(t)) の場合：

L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt

このグラフ付き弧長計算機は、インタラクティブなグラフ上で曲線の区間を強調表示します — 測定されている部分が正確にわかります。任意の関数と範囲を入力すると、AIが数値積分を使って正確な弧長を計算します。多項式、三角関数、指数関数、媒介変数曲線に対応しています。

Graph

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FAQ

弧長とは何ですか？
弧長とは2点間の曲線に沿った距離です — 曲線を「まっすぐに伸ばした」とすると、それが弧長になります。弧長は常に端点間の直線距離以上です。
弧長はどのように計算されますか？
弧長公式は a から b まで \sqrt{1 + [f'(x)]^2} を積分します。直感的には、各微小区間 dx で曲線が f'(x)·dx だけ上昇するため、区間の長さは \sqrt{dx^2 + dy^2} になります。これらを合計すると弧長が得られます。
媒介変数曲線の弧長を計算できますか？
はい。「(cos(t), sin(t))」のような媒介変数曲線と「t は 0 から 2π」のような範囲を入力してください。公式は代わりに \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} を使います。
境界が指定されない場合はどうなりますか？
弧長には境界が必要です — なければ定数以外の関数の長さは無限大になります。「a から b まで」と指定するか、計算機は現在のビューポートの範囲を使用します。
計算はどのくらい正確ですか？
計算機は500個の部分区間でシンプソンの法則を使用し、なめらかな関数に対して約6桁の精度を提供します。これはすべての実用的・教育的目的に十分な精度です。
なぜグラフ付きの弧長計算機を使うのですか？
グラフにより測定されている曲線の部分が正確にわかります。曲線、端点を確認し、なぜ曲線が端点間の直線距離より長いかをビジュアルで理解できます。インタラクティブなズームとパンで曲線の形状を詳しく探索できます。

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