常態分布計算器

計算任意鐘形曲線的機率、z 分數和 CDF——逐步視覺化

常態分布（鐘形曲線）是統計學中最重要的分布。 它描述身高、考試成績、測量誤差和無數自然現象。 任何常態分布都完全由兩個數字定義：均值 μ（峰值所在位置） 和標準差 σ（鐘形的寬度）。

PDF（機率密度函數）給出曲線的形狀。 CDF（累積分布函數）給出值落在某個門檻以下的機率——P(X ≤ x)。 z 分數衡量一個值距離均值有多少個標準差：z = (x − μ) / σ。

告訴 AI 您的均值、標準差以及您想計算的機率——它將繪製 鐘形曲線，為相關區域加上陰影，並逐步解釋。

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什麼是 68-95-99.7 法則？
在任何常態分布中：大約 68% 的值落在均值的 ±1 個標準差範圍內，95% 落在 ±2 個標準差範圍內，99.7% 落在 ±3 個標準差範圍內。這個法則非常有用，被稱為「經驗法則」。例如，如果考試成績服從 μ = 70、σ = 10 的常態分布，約 95% 的成績落在 50 到 90 之間。
什麼是 z 分數？
z 分數衡量一個值距離均值有多少個標準差：z = (x − μ) / σ。z 分數為 +2 表示該值在平均值之上 2 個標準差。轉換為 z 分數後，無論原始單位如何，都可以使用標準常態表（μ = 0，σ = 1）。
PDF 和 CDF 有什麼區別？
PDF（機率密度函數）描述分布的形狀——每個 x 值處曲線的高度。CDF 給出累積機率 P(X ≤ x)——PDF 曲線從 −∞ 到 x 的面積。要求 P(a ≤ X ≤ b)，計算 CDF(b) − CDF(a)。
如何求 X 在兩個值之間的機率？
使用 CDF：P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a)。用 z 分數表示：將兩個邊界都轉換為 z 分數，然後計算 Φ(z₂) − Φ(z₁)，其中 Φ 是標準常態 CDF。AI 將進行這個計算並為您在曲線下方陰影面積。
「標準常態分布」是什麼意思？
標準常態分布是均值 μ = 0、標準差 σ = 1 的特殊情況。任何常態分布都可以透過計算 z 分數轉換為標準常態。Z 表和計算器通常使用標準常態，然後縮放回原始單位。
常態分布什麼時候是個好模型？
當資料大致對稱且呈鐘形、只有一個峰值時，常態分布是個好模型。根據中央極限定理，任何分布的大樣本平均值都會近似服從常態分布——這就是為什麼常態分布在統計學中應用如此廣泛。