Normalverteilungsrechner

Wahrscheinlichkeiten, z-Werte und CDF für jede Glockenkurve berechnen — Schritt für Schritt visualisiert

Die Normalverteilung (Glockenkurve) ist die wichtigste Verteilung in der Statistik. Sie beschreibt Körpergrößen, Testergebnisse, Messfehler und unzählige natürliche Phänomene. Jede Normalverteilung wird vollständig durch nur zwei Zahlen definiert: den Mittelwert μ (wo der Gipfel liegt) und die Standardabweichung σ (wie breit die Glocke ist).

Die PDF (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) gibt die Form der Kurve an. Die CDF (kumulative Verteilungsfunktion) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Wert unter einem Schwellenwert liegt — P(X ≤ x). Ein z-Wert misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist: z = (x − μ) / σ.

Nenn der KI deinen Mittelwert, deine Standardabweichung und die Wahrscheinlichkeit, die du berechnen möchtest — sie zeichnet die Glockenkurve, schattiert den relevanten Bereich und erklärt jeden Schritt.

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Was ist die 68-95-99,7-Regel?
In jeder Normalverteilung fallen annähernd 68 % der Werte innerhalb von ±1 Standardabweichung vom Mittelwert, 95 % innerhalb von ±2 Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von ±3. Diese Regel ist so nützlich, dass sie „Empirische Regel" genannt wird. Zum Beispiel: Wenn Testergebnisse normalverteilt sind mit μ = 70 und σ = 10, fallen etwa 95 % der Ergebnisse zwischen 50 und 90.
Was ist ein z-Wert?
Ein z-Wert misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist: z = (x − μ) / σ. Ein z-Wert von +2 bedeutet, der Wert liegt 2 Standardabweichungen über dem Durchschnitt. Die Umrechnung in z-Werte ermöglicht die Verwendung der Standardnormaltabelle (μ = 0, σ = 1) unabhängig von den ursprünglichen Einheiten.
Was ist der Unterschied zwischen PDF und CDF?
Die PDF (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) beschreibt die Form der Verteilung — die Höhe der Kurve bei jedem x-Wert. Die CDF gibt die kumulative Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) an — die Fläche unter der PDF-Kurve von −∞ bis x. Um P(a ≤ X ≤ b) zu finden, berechne CDF(b) − CDF(a).
Wie finde ich die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen zwei Werten liegt?
Verwende die CDF: P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a). In z-Wert-Form: Konvertiere beide Grenzen zu z-Werten und berechne dann Φ(z₂) − Φ(z₁), wobei Φ die Standardnormal-CDF ist. Die KI führt diese Berechnung durch und schattiert die Fläche unter der Kurve für dich.
Was bedeutet „Standardnormalverteilung"?
Die Standardnormalverteilung ist der Sonderfall mit Mittelwert μ = 0 und Standardabweichung σ = 1. Jede Normalverteilung kann durch Berechnung von z-Werten in die Standardnormalverteilung umgerechnet werden. z-Tabellen und Rechner arbeiten typischerweise mit der Standardnormalverteilung, dann skalierst du zurück auf die ursprünglichen Einheiten.
Wann ist die Normalverteilung ein gutes Modell?
Die Normalverteilung ist ein gutes Modell, wenn die Daten annähernd symmetrisch und glockenförmig mit einem einzigen Gipfel sind. Nach dem zentralen Grenzwertsatz werden Mittelwerte großer Stichproben aus jeder Verteilung annähernd normalverteilt — weshalb die Normalverteilung so weit verbreitet in der Statistik erscheint.