z-Wert-Rechner

Beliebigen Wert standardisieren und sofort sehen, wo er auf der Normalverteilung liegt

Ein z-Wert (auch Standardwert genannt) misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert seiner Verteilung entfernt ist. Er beantwortet die Frage: Ist dieser Wert typisch, ungewöhnlich hoch oder ungewöhnlich niedrig?

Die Formel ist einfach: z = (x − μ) / σ, wobei x dein Wert ist, μ der Mittelwert und σ die Standardabweichung. Ein z-Wert von 0 bedeutet, der Wert entspricht dem Mittelwert. Ein z-Wert von +2 bedeutet, der Wert liegt 2 Standardabweichungen über dem Mittelwert — in den oberen ~2,3 % einer Normalverteilung.

z-Werte sind unverzichtbar für den Vergleich von Werten aus verschiedenen Skalen — zum Beispiel den Vergleich eines SAT-Ergebnisses mit einem IQ-Wert — und für die Ermittlung von Perzentilen aus der Standardnormaltabelle. Gib unten einen Wert, Mittelwert und Standardabweichung ein, um deinen z-Wert und das entsprechende Perzentil zu berechnen.

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Was ist ein z-Wert?
Ein z-Wert (Standardwert) misst, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt über oder unter dem Mittelwert liegt. Die Formel lautet z = (x − μ) / σ. z-Werte ermöglichen den Vergleich von Werten aus verschiedenen Verteilungen auf einer gemeinsamen Skala und die Ermittlung von Perzentilen mithilfe der Standardnormaltabelle.
Wie berechnet man einen z-Wert?
Subtrahiere den Mittelwert (μ) von deinem Wert (x), dann teile durch die Standardabweichung (σ): z = (x − μ) / σ. Wenn zum Beispiel ein Testergebnis 85 ist, der Mittelwert 75 und die Standardabweichung 10, dann ist z = (85 − 75) / 10 = 1,0. Die KI zeigt diese Berechnung Schritt für Schritt und stellt das Ergebnis auf der Normalverteilungskurve dar.
Was bedeutet ein z-Wert von 2?
Ein z-Wert von +2 bedeutet, der Wert liegt 2 Standardabweichungen über dem Mittelwert. In einer Normalverteilung fallen etwa 95 % der Werte zwischen z = −2 und z = +2, daher ist ein z-Wert von 2 in ungefähr den oberen 2,3 % — ein ziemlich ungewöhnliches Ergebnis. Ein z-Wert von −2 liegt symmetrisch in den unteren 2,3 %.
Wie rechnet man einen z-Wert in ein Perzentil um?
Verwende die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (CDF), auch Φ-Funktion genannt. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit P(Z ≤ z) an — den Anteil der Verteilung unterhalb deines z-Wertes. Zum Beispiel entspricht z = 1,0 dem 84. Perzentil (84 % der Werte liegen darunter). Die KI berechnet und visualisiert diese schattierte Fläche automatisch.
Wann sollte man z-Werte verwenden?
Verwende z-Werte, wenn du Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen musst (z. B. SAT- vs. ACT-Ergebnisse), Ausreißer identifizieren möchtest (|z| > 2 oder 3 wird oft markiert) oder Rohwerte in Perzentile umwandeln willst. z-Werte erfordern, dass die Daten für genaue Perzentilinterpretationen annähernd normalverteilt sind.
Was ist der Unterschied zwischen einem z-Wert und einem Perzentil?
Ein z-Wert ist ein roher standardisierter Abstand vom Mittelwert (kann jede Zahl sein, positiv oder negativ). Ein Perzentil ist der Prozentsatz der Werte, die unter einem gegebenen Punkt liegen (immer 0–100). Sie sind verknüpft: Jeder z-Wert entspricht über die Normal-CDF genau einem Perzentil. Zum Beispiel ist z = 0 immer das 50. Perzentil.