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正弦与余弦

通过滑块逐步探索振幅、周期和相移

正弦函数 y = \sin(x) 生成一条平滑的波浪, 每 2\pi 个单位重复一次。它是数学中最重要的函数之一—— 用于描述声波、光波、潮汐以及一切振荡现象。

在这节课中,你将通过三个滑块探索一般正弦函数 y = a \cdot \sin(bx + c)a 控制振幅(高度),b 控制频率(有多少个波), c 控制相移(左右平移)。灰色参考波 y = \sin(x) 始终显示在屏幕上,方便你随时比较。

课程结束时,你还将看到余弦不过是平移后的正弦—— 同一条波,不同的起点。

Graph

FAQ

什么是正弦函数?
正弦函数 y = \sin(x) 接收一个角度(弧度),返回 -1 到 1 之间的值。它生成平滑的重复波形,在 0、π、2π 等处过零,在 π/2 处达到最大值 1,在 3π/2 处达到最小值 -1。它是三角学和波动物理的基础。
什么是振幅、周期和相移?
对于 y = a \sin(bx + c)振幅 = |a|,波从中心到峰值的高度。周期 = 2π/|b|,完成一个完整周期的水平距离。相移 = -c/b,波左右滑动的距离。这三个参数控制波形的形状和位置的方方面面。
正弦和余弦有什么区别?
余弦就是正弦向左平移 π/2:\cos(x) = \sin(x + \pi/2)。它们有相同的波形、相同的振幅、相同的周期——唯一的区别是起点不同。正弦从 0 开始,余弦从 1 开始。在单位圆上,正弦是 y 坐标,余弦是 x 坐标。
正弦与单位圆有什么关系?
单位圆上,正弦是角度 θ 处点的 y 坐标,余弦是 x 坐标。当 θ 从 0 增加到 2π 时,y 坐标描绘出正弦波。这就是为什么 sin(0) = 0,sin(π/2) = 1,sin(π) = 0,sin(3π/2) = -1。