正弦与余弦

通过滑块逐步探索振幅、周期和相移

正弦函数 y = \sin(x) 生成一条平滑的波浪， 每 2\pi 个单位重复一次。它是数学中最重要的函数之一—— 用于描述声波、光波、潮汐以及一切振荡现象。

在这节课中，你将通过三个滑块探索一般正弦函数 y = a \cdot \sin(bx + c)： a 控制振幅（高度），b 控制频率（有多少个波）， c 控制相移（左右平移）。灰色参考波 y = \sin(x) 始终显示在屏幕上，方便你随时比较。

课程结束时，你还将看到余弦不过是平移后的正弦—— 同一条波，不同的起点。

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Suggested Lessons

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什么是正弦函数？
正弦函数 y = \sin(x) 接收一个角度（弧度），返回 -1 到 1 之间的值。它生成平滑的重复波形，在 0、π、2π 等处过零，在 π/2 处达到最大值 1，在 3π/2 处达到最小值 -1。它是三角学和波动物理的基础。
什么是振幅、周期和相移？
对于 y = a \sin(bx + c)：振幅 = |a|，波从中心到峰值的高度。周期 = 2π/|b|，完成一个完整周期的水平距离。相移 = -c/b，波左右滑动的距离。这三个参数控制波形的形状和位置的方方面面。
正弦和余弦有什么区别？
余弦就是正弦向左平移 π/2：\cos(x) = \sin(x + \pi/2)。它们有相同的波形、相同的振幅、相同的周期——唯一的区别是起点不同。正弦从 0 开始，余弦从 1 开始。在单位圆上，正弦是 y 坐标，余弦是 x 坐标。
正弦与单位圆有什么关系？
在单位圆上，正弦是角度 θ 处点的 y 坐标，余弦是 x 坐标。当 θ 从 0 增加到 2π 时，y 坐标描绘出正弦波。这就是为什么 sin(0) = 0，sin(π/2) = 1，sin(π) = 0，sin(3π/2) = -1。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.