二次方程

求根公式用于解 ax² + bx + c = 0：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a。它适用于任何二次方程，即使因式分解困难也能使用。

对于标准式 y = ax² + bx + c，顶点的x坐标为 x = −b/(2a)，将x代入方程即可求得y。在顶点式 y = a(x − h)² + k 中，顶点就是 (h, k)。

判别式 Δ = b² − 4ac 揭示了根的性质。Δ > 0 时，抛物线与x轴有两个交点；Δ = 0 时，恰好相切于一点（即顶点）；Δ < 0 时，抛物线不与x轴相交——方程无实数解。

顶点式为 y = a(x − h)² + k，其中 (h, k) 就是顶点。它便于画图：可以直接读出顶点位置，a 控制抛物线的宽度和方向。

通过AI辅导，交互式探索和理解抛物线

二次方程的标准形式为 $y = ax² + bx + c$ ，其中 a、b、c 为常数且 a ≠ 0。它的图像是一条抛物线——一条对称的U形曲线，当 a > 0 时开口向上，当 a < 0 时开口向下。

顶点是抛物线的最高点或最低点，位于 $x = -b / (2a)$ 。判别式 $Δ = b² - 4ac$ 决定了实数根的个数： Δ > 0 时有两个实根，Δ = 0 时有一个重根，Δ < 0 时无实根。

使用下方的滑块调节 a、b、c，观察抛物线如何变化。向AI提问——试试"a变成负数会怎样？"或"帮我求顶点"。

什么是求根公式？

求根公式用于解 ax² + bx + c = 0：

x = (-b \pm \sqrt(b² - 4ac)) / 2a

。它适用于任何二次方程，即使因式分解困难也能使用。

如何求抛物线的顶点？

对于标准式 y = ax² + bx + c，顶点的x坐标为

x = -b/(2a)

，将x代入方程即可求得y。在顶点式 y = a(x − h)² + k 中，顶点就是 (h, k)。

判别式有什么用？

判别式

Δ = b² - 4ac

揭示了根的性质。Δ > 0 时，抛物线与x轴有两个交点；Δ = 0 时，恰好相切于一点（即顶点）；Δ < 0 时，抛物线不与x轴相交——方程无实数解。

什么是顶点式？为什么有用？

顶点式为

y = a(x - h)² + k

，其中 (h, k) 就是顶点。它便于画图：可以直接读出顶点位置，a 控制抛物线的宽度和方向。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.