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单位圆

沿着圆走一圈,发现sin和cos只不过是坐标

单位圆是以原点为圆心、半径为1的圆。 圆上的每一点都可以写成 (\cos\theta, \sin\theta), 其中 θ 是从正x轴量起的角度。

这意味着余弦就是x坐标,正弦就是y坐标。 这一个认识就能解锁整个三角函数:不同象限的符号变化、 勾股恒等式 \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, 以及每个关键角度的sin和cos值。

在这节课中,你将沿着单位圆一个角度一个角度地走——从0°到360°——放置点 并读出它们的坐标。学完之后,sin和cos不再是抽象的公式;它们将是你能看到和触摸的圆上的位置。

Graph

FAQ

什么是单位圆?
单位圆是以原点 (0, 0) 为圆心、半径恰好为1的圆。它的方程是 x^2 + y^2 = 1。之所以叫"单位"圆,是因为半径是一个单位长。
正弦和余弦与单位圆有什么关系?
对于任意角 θ,单位圆上该角度对应的点的坐标是 (\cos\theta, \sin\theta)。所以余弦 = x坐标正弦 = y坐标。这就是sin和cos的几何定义。
单位圆上有哪些关键角度?
关键角度是 0°、30°、45°、60°、90° 以及它们在各象限的对应角。在30°:(√3/2, 1/2)。在45°:(√2/2, √2/2)。在60°:(1/2, √3/2)。在90°:(0, 1)。这些值在其他象限以符号变化的形式重复。
弧度和角度有什么区别?
角度和弧度是两种量角方式。一整圆是 360°2π 弧度。转换方法:角度乘以 \pi/180 得到弧度。所以 90° = π/2,180° = π,45° = π/4。高等数学中更常用弧度,因为它简化了很多公式。