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Fonctions Polynomiales

Degré, racines et comportement aux extrémités — sur un seul graphique

Un polynôme est une somme de termes, chacun étant une constante fois une puissance de x : f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0. La puissance la plus élevée est le degré et son coefficient an est le coefficient dominant.

Le degré et le coefficient dominant contrôlent le comportement aux extrémités. Un polynôme de degré impair monte d'un côté et descend de l'autre ; un degré pair monte (ou descend) des deux côtés.

Dans cette leçon, vous explorerez des polynômes de degré 2, 3 et 4 avec des curseurs, découvrirez le lien entre le nombre de racines et le degré, et verrez l'effet du coefficient dominant.

Graph

FAQ

Qu'est-ce qu'une fonction polynomiale ?
Une fonction polynomiale a la forme f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0, où chaque ai est une constante et n est un entier non négatif (le degré).
Qu'est-ce que le degré d'un polynôme ?
Le degré est la plus haute puissance de x avec un coefficient non nul. Il détermine le nombre maximal de racines et la forme générale.
Qu'est-ce que le comportement aux extrémités ?
Le comportement aux extrémités décrit f(x) quand x → ∞ et x → −∞. Degré pair + coefficient dominant positif : les deux extrémités montent. Degré impair + coefficient dominant positif : gauche descend, droite monte.
Combien de racines un polynôme peut-il avoir ?
Un polynôme de degré n a au plus n racines réelles. Il peut en avoir moins si certaines racines sont complexes.