牛頓-拉弗森法

沿切線方向求根——觀看逐步收斂

牛頓-拉弗森法透過迭代找到 f(x) = 0 的位置：從猜測值 x₀ 開始，在該點畫切線，然後看切線與 x 軸的交點——那就是你的下一個、更好的猜測值。公式為：

x_{n+1} = x_n − f(x_n) / f'(x_n)

圖形顯示 f(x) = x³ − 2x − 5，在 x ≈ 2 附近有一個根。觀察每條切線如何讓你越來越接近精確的根。這就像數學 GPS——每一步都大幅減小誤差。

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牛頓-拉弗森法如何運作？
從初始猜測 x₀ 開始。在該點畫 f(x) 的切線。切線與 x 軸的交點就是你的下一個猜測 x₁。重複迭代——每次迭代通常使正確位數翻倍。
公式是什麼？
x_{n+1} = x_n − f(x_n) / f'(x_n)。你用函數值除以導數然後減去。幾何上，這找到了過 (x_n, f(x_n)) 的切線與 x 軸的交點。
牛頓-拉弗森法何時會失敗？
如果初始猜測離根太遠、某次迭代中 f'(x) = 0（水平切線），或者函數在根附近有拐點，則方法可能失敗。初始點選取不當也可能導致循環或發散。
這種方法為什麼有用？
許多方程無法用代數精確求解（比如 x³ − 2x − 5 = 0）。牛頓-拉弗森法能以任意精度給出數值答案。它被廣泛用於工程、物理、電腦圖形學和機器學習最佳化。
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.