反函数

反函数 f⁻¹(x) "撤销"原函数 f(x)。如果 f 把输入 a 映射到输出 b，那么 f⁻¹ 把 b 映回 a。形式上，f(f⁻¹(x)) = x 且 f⁻¹(f(x)) = x。

函数有反函数当且仅当它是一一函数——每个输出只对应一个输入。水平线检验可以验证：如果任意水平线与图形交于多点，该函数没有反函数（除非限制定义域）。

找到"撤销"另一个函数的函数——关于 y = x 进行反射

反函数把原函数的操作倒过来。如果 $f(x) = 2x + 3$ 把 2 变成 7，那么 $f⁻¹(x)$ 把 7 变回 2。

求反函数的方法：交换 x 和 y，然后解出 y。 $f⁻¹$ 的图像是 f 关于直线 $y = x$ 的镜像。

不是每个函数都有反函数——它必须通过水平线检验。向AI提问，试试"求 f(x) = 3x − 1 的反函数"或"为什么 x² 没有反函数？"

什么是反函数？

反函数

f⁻¹(x)

"撤销"原函数 f(x)。如果 f 把输入 a 映射到输出 b，那么 f⁻¹ 把 b 映回 a。形式上，

f(f⁻¹(x)) = x

且

f⁻¹(f(x)) = x

。

如何求反函数？

写出 y = f(x)，交换 x 和 y 得 x = f(y)，然后解出 y。例如：y = 2x + 3 变为 x = 2y + 3，解得 y = (x − 3)/2。所以

f⁻¹(x) = (x - 3)/2

。

为什么反函数是关于 y = x 的反射？

当你把 f 上每个点 (a, b) 的 x 和 y 互换时，得到 f⁻¹ 上的 (b, a)。变换 (a, b) → (b, a) 正好是关于直线 y = x 的反射。

什么情况下反函数不存在？

函数有反函数当且仅当它是一一函数——每个输出只对应一个输入。水平线检验可以验证：如果任意水平线与图形交于多点，该函数没有反函数（除非限制定义域）。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.