오일러 방법

작은 직선 선분을 이어 해 곡선을 구성하기

오일러 방법은 작은 단계를 밟아 미분방정식 dy/dx = f(x, y)의 해를 근사합니다. 각 점에서 도함수가 기울기를 알려줍니다——그 방향으로 짧은 직선을 그리고, 새 점에서 반복합니다.

고전적인 예제로 시작합니다: dy/dx = y, 시작점 (0, 1). 정확한 해는 y = eˣ이지만, 오일러 방법은 덧셈과 곱셈만으로 근사해를 구성합니다——복잡한 미적분 계산이 필요 없습니다.

단계 크기가 작을수록 근사는 실제 곡선에 가까워집니다. AI에게 "h = 0.5로 5단계 이동해줘" 또는 "h = 1과 h = 0.1을 비교해줘"라고 물어보세요.

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오일러 방법은 어떻게 작동하나요?
알려진 점 (x₀, y₀)에서 시작합니다. 도함수 dy/dx = f(x, y)가 그 점의 기울기를 줍니다. 한 단계 이동: x₁ = x₀ + h, y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀). (x₁, y₁)에서 반복합니다. 각 단계는 기울기를 따르는 작은 직선 선분입니다.
단계 크기 h란 무엇인가요?
단계 크기 h는 각 반복에서 얼마나 이동할지 조절합니다. 작은 h는 정확도가 높지만（선분이 곡선을 더 밀접하게 따름） 더 많은 단계가 필요합니다. 큰 h는 빠르지만 정확도가 낮습니다——직선 선분이 모퉁이를 자릅니다.
오일러 방법이 정확한 답을 줄 수 없는 이유는?
각 단계는 기울기가 구간 전체에 걸쳐 일정하다고 가정하지만, 기울기는 실제로 연속적으로 변합니다. 이것이 각 단계에서 오류를 발생시키고 오류가 누적됩니다. 100미터마다와 10미터마다 방향을 확인하며 내비게이션하는 것의 차이와 같습니다.
어디에 사용되나요?
미분방정식을 정확하게 풀 수 없을 때（실제 문제의 대부분이 그렇습니다）, 오일러 방법 같은 수치 해법이 필수적입니다. 날씨 예측, 로켓 궤적, 개체수 모델, 회로 시뮬레이션 모두 이 아이디어의 변형을 사용합니다.
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.