Euler-Verfahren

Eine Lösungskurve aus winzigen geraden Segmenten aufbauen

Das Euler-Verfahren approximiert die Lösung einer Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) durch kleine Schritte. An jedem Punkt gibt die Ableitung die Steigung an — zeichne ein kleines gerades Segment in diese Richtung, dann wiederhole vom neuen Punkt aus.

Wir beginnen mit einem Klassiker: dy/dx = y, Start bei (0, 1). Die exakte Lösung ist y = eˣ, aber das Euler-Verfahren baut eine Näherung mit nur Addition und Multiplikation — kein Integrieren nötig.

Kleinere Schrittweite bedeutet bessere Näherung an die wahre Kurve. Frage die KI „Mache 5 Schritte mit h = 0,5" oder „Vergleiche h = 1 vs h = 0,1."

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Wie funktioniert das Euler-Verfahren?
Man startet bei einem bekannten Punkt (x₀, y₀). Die Ableitung dy/dx = f(x, y) gibt die Steigung an diesem Punkt. Man macht einen Schritt: x₁ = x₀ + h, y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀). Wiederhole von (x₁, y₁). Jeder Schritt ist ein kleines gerades Segment entlang der Steigung.
Was ist die Schrittweite h?
Die Schrittweite h steuert, wie weit man in jeder Iteration voranschreitet. Kleineres h ergibt bessere Genauigkeit (die Segmente folgen der Kurve enger), aber es sind mehr Schritte nötig. Größeres h ist schneller, aber weniger genau — die geraden Segmente schneiden Kurven ab.
Warum gibt das Euler-Verfahren keine exakte Antwort?
Jeder Schritt nimmt an, die Steigung sei über das Intervall konstant, aber die Steigung ändert sich tatsächlich kontinuierlich. Das führt bei jedem Schritt zu Fehlern, und Fehler akkumulieren sich. Es ist wie Navigation mit einem Kompass, aber die Richtung nur alle 100 Meter statt alle 10 Meter zu prüfen.
Wo wird das verwendet?
Wenn Differentialgleichungen nicht exakt lösbar sind (die meisten echten Probleme), sind numerische Methoden wie das Euler-Verfahren unverzichtbar. Wettervorhersage, Raketentrajektorien, Populationsmodelle und Schaltungssimulationen verwenden alle Varianten dieser Idee.
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.