椭圆

椭圆是被拉伸的圆，方程为 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1。a 是水平半轴，b 是垂直半轴。当 a = b 时变成圆。

焦点是椭圆内部两个特殊点。对于 a > b 的水平椭圆，焦点在 (\pm c, 0)，其中 c = \sqrt{a^2 - b^2}。定义性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和 = 2a。

离心率 e = \frac{c}{a} 衡量椭圆有多扁。e = 0 时是圆，e 接近 1 时非常扁长。

弦性质：椭圆上任意点 P 到两焦点的距离之和总是 2a。所以你可以用两个图钉和一根长 2a 的绳子画椭圆。

焦点、离心率和弦性质——一个滑块接一个滑块

椭圆就像一个被拉伸的圆。它的方程是 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中 a 是水平半径，b 是垂直半径。当 a = b 时，你得到一个完美的圆。

每个椭圆有两个特殊的内部点叫做焦点。神奇的性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和总是相同的。

在这节课中，你将用滑块探索 a 和 b 如何改变椭圆形状，找到焦点，验证弦性质，并发现离心率。

什么是椭圆？

椭圆是被拉伸的圆，方程为

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

。a 是水平半轴，b 是垂直半轴。当 a = b 时变成圆。

什么是椭圆的焦点？

焦点是椭圆内部两个特殊点。对于 a > b 的水平椭圆，焦点在

(\pm c, 0)

，其中

c = \sqrt{a^2 - b^2}

。定义性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和 = 2a。

什么是离心率？

离心率

e = \frac{c}{a}

衡量椭圆有多扁。e = 0 时是圆，e 接近 1 时非常扁长。

什么是椭圆的弦性质？

弦性质：椭圆上任意点 P 到两焦点的距离之和总是 2a。所以你可以用两个图钉和一根长 2a 的绳子画椭圆。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.