點到直線距離

點到直線的距離是兩者之間最短路徑的長度。最短路徑總是垂線——從點到直線形成90°角的線段。

如果直線斜率為 m，垂線斜率為 -\frac{1}{m}（負倒數）。寫出過該點且斜率為負倒數的直線方程，解方程組找交點。那個交點就是垂足。

對於直線 ax + by + c = 0 和點 (x_0, y_0)，距離為 d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}。

構造垂線，發現最短路徑

給定一條直線和一個不在線上的點，它們之間的最短距離是什麼？不是水平距離，也不是垂直距離——而是垂直距離，即與原直線成直角的線段長度。

在這節課中，你將從直線 $y = 0.5x + 1$ 和點 P(4, 5) 開始。你將構造從 P 到直線的垂線，找到垂足，用畢氏定理計算距離，然後發現點到直線距離公式。

學完後，你將能用構造法和公式法求任意點到任意直線的距離。

什麼是點到直線的距離？

點到直線的距離是兩者之間最短路徑的長度。最短路徑總是垂線——從點到直線形成90°角的線段。

如何求點到直線的垂線？

如果直線斜率為 m，垂線斜率為

-\frac{1}{m}

（負倒數）。寫出過該點且斜率為負倒數的直線方程，解方程組找交點。那個交點就是垂足。

點到直線距離公式是什麼？

對於直線

ax + by + c = 0

和點

(x_0, y_0)

，距離為

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

。

為什麼垂直距離是最短的？

在從點到直線的所有線段中，垂線最短，因為它與任何其他線段構成直角三角形——而直角三角形的斜邊總是比兩條直角邊長。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.