Bogenlängen-Rechner

Miss die exakte Länge einer beliebigen Kurve zwischen zwei Punkten

Die Bogenlänge einer Kurve y = f(x) von x = a bis x = b beträgt:

L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx

Für parametrische Kurven (x(t), y(t)):

L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\, dt

Dieser Bogenlängenrechner mit Graph hebt das Kurvenstück im interaktiven Graphen hervor — sieh genau, welcher Teil der Kurve gemessen wird. Gib eine beliebige Funktion und ein Intervall ein, und die KI berechnet die exakte Bogenlänge mit numerischer Integration. Funktioniert mit Polynomen, Trigonometrie, Exponentialfunktionen und parametrischen Kurven.

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Was ist die Bogenlänge?
Die Bogenlänge ist der Abstand entlang einer Kurve zwischen zwei Punkten — würde man die Kurve gerade strecken, entspräche das ihrer Bogenlänge. Sie ist immer größer oder gleich dem geradlinigen Abstand zwischen den Endpunkten.
Wie wird die Bogenlänge berechnet?
Die Bogenlängenformel integriert \sqrt{1 + [f'(x)]^2} von a bis b. Intuitiv: An jedem kleinen Abschnitt dx steigt die Kurve um f'(x)·dx, also ist die Länge des Abschnitts \sqrt{dx^2 + dy^2}. Die Summe dieser Abschnitte ergibt die Gesamtbogenlänge.
Kann ich die Bogenlänge einer parametrischen Kurve berechnen?
Ja. Gib eine parametrische Kurve wie „(cos(t), sin(t))" und ein Intervall wie „t von 0 bis 2pi" ein. Die Formel verwendet dann \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}.
Was passiert, wenn keine Grenzen angegeben werden?
Bogenlänge erfordert Grenzen — ohne sie ist die Länge für jede nicht-konstante Funktion unendlich. Gib „von a bis b" an, oder der Rechner verwendet den aktuellen Darstellungsbereich.
Wie genau ist die Berechnung?
Der Rechner verwendet die Simpson-Regel mit 500 Teilintervallen, was für glatte Funktionen eine Genauigkeit von etwa 6 Dezimalstellen ergibt. Das ist für alle praktischen und pädagogischen Zwecke mehr als ausreichend.
Warum einen Bogenlängenrechner mit Graph verwenden?
Der Graph zeigt genau, welcher Teil der Kurve gemessen wird. Du siehst die Kurve und die Endpunkte und verstehst visuell, warum eine Kurve länger ist als der geradlinige Abstand zwischen ihren Endpunkten. Interaktives Zoomen und Verschieben ermöglicht das Erkunden der Kurvenform im Detail.
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.