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Funções Racionais

Assíntotas, buracos e comportamento nas extremidades

Uma função racional é uma razão de dois polinômios: p(x)/q(x). O gráfico mostra y = 1/x — a hipérbole mais simples. Ela tem uma assíntota vertical em x = 0 (a função explode) e uma assíntota horizontal em y = 0 (a função se aproxima mas nunca toca).

Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não. Assíntotas horizontais descrevem o comportamento quando x → ±∞. Às vezes, fatores que se cancelam criam buracos — pontos removíveis — no lugar de assíntotas.

Peça à IA "Mostre-me (x²−1)/(x−1)" ou "Qual é a diferença entre um buraco e uma assíntota?"

Graph

FAQ

O que é uma assíntota vertical?
Uma assíntota vertical ocorre onde o denominador é zero mas o numerador não. Em y = 1/(x−2), há uma assíntota vertical em x = 2. A função cresce para +∞ ou −∞ à medida que x se aproxima de 2.
Como encontro assíntotas horizontais?
Compare os graus do numerador e denominador. Se grau do num < grau do den: assíntota em y = 0. Se graus iguais: assíntota em y = coeficiente líder do num / coef. líder do den. Se grau do num > grau do den: sem assíntota horizontal (oblíqua).
O que é um buraco na função?
Um buraco ocorre quando o mesmo fator cancela no numerador e denominador. Em (x²−1)/(x−1) = (x+1)(x−1)/(x−1), o fator (x−1) cancela, deixando y = x+1 com um buraco em x = 1. A função é definida em todo lugar exceto esse ponto.
Como o comportamento de y = 1/x se relaciona com proporcionalidade inversa?
y = k/x é proporcionalidade inversa: quando x dobra, y cai pela metade. Isso aparece em física (lei dos gases: PV = k), óptica (foco de lentes) e economia (lei da demanda). A hipérbole y = 1/x é o modelo visual.

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