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Potenzfunktionen

Erkunde y = xⁿ — von Parabeln zu Hyperbeln, ein Exponent nach dem anderen

Eine Potenzfunktion hat die Form y = xⁿ, wobei der Exponent n alles über die Form bestimmt. Bei n = 2 erhältst du die bekannte Parabel. Bei n = 3 eine S-förmige Kurve. Bei n = ½ die Quadratwurzel. Bei n = −1 eine Hyperbel.

All diese gehören zur gleichen Funktionsfamilie — sie unterscheiden sich nur in ihrem Exponenten. In dieser Lektion benutzt du einen Schieberegler, um verschiedene Werte von n durchzugehen und zu beobachten, wie sich die Kurve in Echtzeit verwandelt. Du wirst entdecken, warum gerade Exponenten symmetrische Formen erzeugen, warum ungerade Exponenten mit einer S-Kurve durch den Ursprung gehen und was passiert, wenn der Exponent negativ oder ein Bruch ist.

Die graue Linie y = x bleibt als Referenz auf dem Graphen, damit du jederzeit sehen kannst, wie sich die Potenzfunktion im Vergleich zur einfachen Proportionalität verhält.

Graph

FAQ

Was ist eine Potenzfunktion?
Eine Potenzfunktion ist jede Funktion der Form y = x^n, wobei n ein konstanter Exponent ist. Beispiele sind y = x^2 (Parabel), y = x^3 (kubische Funktion), y = x^{0.5} = \sqrt{x} (Quadratwurzel) und y = x^{-1} = \frac{1}{x} (Kehrwert/Hyperbel). Die Variable x ist die Basis und die Konstante n ist der Exponent.
Was ist der Unterschied zwischen einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion?
Bei einer Potenzfunktion y = x^n ist die Variable die Basis und der Exponent ist konstant. Bei einer Exponentialfunktion y = a^x ist die Basis konstant und die Variable ist der Exponent. Zum Beispiel ist y = x^3 eine Potenzfunktion (x ist die Basis), während y = 3^x exponentiell ist (x ist der Exponent). Sie wachsen sehr unterschiedlich — Exponentialfunktionen überholen letztendlich jede Potenzfunktion.
Wie beeinflusst der Exponent die Form einer Potenzfunktion?
Der Exponent n bestimmt alles: Gerade ganze Zahlen (n = 2, 4, ...) ergeben U-förmige Kurven, symmetrisch zur y-Achse. Ungerade ganze Zahlen (n = 3, 5, ...) ergeben S-förmige Kurven durch den Ursprung. Brüche wie n = 0,5 ergeben Wurzelfunktionen (nur für x ≥ 0 definiert). Negative Exponenten wie n = −1 ergeben Hyperbeln mit vertikalen und horizontalen Asymptoten. Je größer |n|, desto steiler wächst die Kurve vom Ursprung entfernt.
Was passiert, wenn der Exponent 0 oder 1 ist?
Bei n = 0 ist y = x^0 = 1 für alle x ≠ 0 — eine horizontale Linie bei y = 1. Bei n = 1 ist y = x^1 = x — eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung 1. Dies sind die einfachsten Potenzfunktionen und dienen als nützliche Referenzpunkte bei der Erkundung anderer Exponenten.

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