Método de Newton-Raphson

Use linhas tangentes para aproximar raízes iterativamente

O método de Newton-Raphson encontra raízes de f(x) = 0 usando iteração: comece com um chute x₀, trace a linha tangente, encontre onde ela cruza o eixo x — esse é x₁. Repita. A fórmula é x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n).

O gráfico mostra f(x) = x³ − 2x − 5. Essa função tem uma raiz real (aproximadamente x ≈ 2.09). A derivada f'(x) = 3x² − 2 nos diz a inclinação da tangente em cada ponto. O método converge muito rapidamente — geralmente em 4–6 iterações.

Peça à IA "Execute Newton-Raphson começando em x = 3" ou "Por que o método pode falhar?"

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Como funciona o método de Newton-Raphson?
Começamos com um chute x₀. Traçamos a linha tangente à curva em (x₀, f(x₀)). Onde essa tangente cruza o eixo x é nossa próxima estimativa x₁. Repetimos: x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n). A sequência geralmente converge para a raiz rapidamente.
Por que o método é tão rápido?
Newton-Raphson tem convergência quadrática: o número de casas decimais corretas aproximadamente dobra a cada iteração. Começando razoavelmente perto da raiz, 5 iterações podem dar 30+ casas decimais de precisão.
Quando o método de Newton-Raphson falha?
Pode falhar se: (1) f'(x_n) = 0 (tangente horizontal, sem cruzamento com o eixo); (2) o chute inicial está longe da raiz e a iteração diverge ou oscila; (3) a função tem múltiplas raízes e o método converge para a errada. Escolher uma boa estimativa inicial é fundamental.
Onde o método de Newton-Raphson é usado na prática?
Em computação gráfica (encontrar interseções de raios), engenharia (resolver equações de projeto), física (encontrar estados de equilíbrio), e em toda calculadora que calcula raízes quadradas. A função sqrt() do computador usa tipicamente Newton-Raphson.
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.