Umkehrfunktionen

Finde die Funktion, die eine andere rückgängig macht — Spiegelung an y = x

Eine Umkehrfunktion macht das rückgängig, was die ursprüngliche Funktion tut. Wenn f(x) = 2x + 3 die 2 in 7 verwandelt, dann verwandelt f⁻¹(x) die 7 zurück in 2.

So findet man die Umkehrfunktion: x und y vertauschen, dann nach y auflösen. Der Graph von f⁻¹ ist das Spiegelbild von f gespiegelt an der Geraden y = x.

Nicht jede Funktion hat eine Umkehrfunktion — sie muss den Horizontallinientest bestehen. Frag die KI alles — probiere „Finde die Umkehrfunktion von f(x) = 3x − 1" oder „Warum hat x² keine Umkehrfunktion?"

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Was ist eine Umkehrfunktion?
Eine Umkehrfunktion f⁻¹(x) „macht rückgängig", was die ursprüngliche Funktion f(x) tut. Wenn f den Eingabewert a auf den Ausgabewert b abbildet, bildet f⁻¹ b wieder auf a ab. Formal gilt: f(f⁻¹(x)) = x und f⁻¹(f(x)) = x.
Wie findet man eine Umkehrfunktion?
Schreibe y = f(x), vertausche x und y zu x = f(y), dann löse nach y auf. Beispiel: y = 2x + 3 wird zu x = 2y + 3, dann y = (x − 3)/2. Also gilt f⁻¹(x) = (x − 3)/2.
Warum ist die Umkehrfunktion eine Spiegelung an y = x?
Wenn man x und y in jedem Punkt (a, b) auf f vertauscht, erhält man (b, a) auf f⁻¹. Die Transformation (a, b) → (b, a) ist genau eine Spiegelung an der Geraden y = x.
Wann existiert keine Umkehrfunktion?
Eine Funktion hat eine Umkehrfunktion nur dann, wenn sie injektiv ist — jeder Ausgabewert kommt von genau einem Eingabewert. Der Horizontallinientest prüft dies: Wenn eine horizontale Linie den Graphen mehr als einmal schneidet, hat die Funktion keine Umkehrfunktion (es sei denn, der Definitionsbereich wird eingeschränkt).
What can it graph?
It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.
Can I use voice or a photo?
Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.
Will it explain the steps?
Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.