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Distância de um Ponto a uma Reta

Construa a perpendicular e descubra o caminho mais curto

Encontrar a estrada mais próxima, o ponto mais próximo em uma fronteira, o caminho mais curto de você até uma parede — todas são a mesma pergunta disfarçada. Dado uma reta e um ponto que não está nela, qual é a distância mais curta entre eles? Não é a distância horizontal, e não é a distância vertical — é a distância perpendicular, o comprimento do segmento de reta que encontra a reta original em um ângulo reto.

Nesta aula, você começará com a reta y = 0,5x + 1 e o ponto P(4, 5). Você construirá a perpendicular de P à reta, encontrará o pé da perpendicular, calculará a distância usando o teorema de Pitágoras e descobrirá a fórmula da distância ponto-reta — um atalho de um passo que dá a mesma resposta.

Ao final, você poderá encontrar a distância de qualquer ponto a qualquer reta, tanto por construção quanto por fórmula — com um tutor de IA guiando passo a passo.

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FAQ

O que é a distância de um ponto a uma reta?
A distância de um ponto a uma reta é o comprimento do caminho mais curto entre eles. Esse caminho mais curto é sempre a perpendicular — o segmento de reta do ponto à reta que forma um ângulo de 90° com ela. Qualquer outro caminho do ponto à reta seria mais longo.
Como encontro a perpendicular de um ponto a uma reta?
Se a reta tem inclinação m, a perpendicular tem inclinação -\frac{1}{m} (a recíproca negativa). Escreva a equação da reta que passa pelo seu ponto com essa inclinação, depois resolva o sistema para encontrar onde encontra a reta original. Esse ponto de interseção é o pé da perpendicular.
Qual é a fórmula da distância ponto-reta?
Para uma reta ax + by + c = 0 e um ponto (x_0, y_0), a distância é d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. Esta fórmula dá a distância perpendicular diretamente, sem precisar construir o pé.
Por que a distância perpendicular é a mais curta?
Entre todos os segmentos de um ponto a uma reta, a perpendicular é a mais curta porque forma um triângulo retângulo com qualquer outro segmento — e a hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre maior que qualquer cateto. O segmento perpendicular é um cateto, então é mais curto que qualquer outra ligação.

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