正态分布计算器

计算任意钟形曲线的概率、z分数和累积分布函数——逐步可视化

正态分布（钟形曲线）是统计学中最重要的分布。它描述了身高、 考试成绩、测量误差以及无数自然现象。任何正态分布由两个数字完全定义： 均值 μ（峰值位置）和标准差 σ（钟形宽度）。

概率密度函数（PDF）给出曲线的形状。 累积分布函数（CDF）给出值低于某阈值的概率——P(X ≤ x)。 z 分数衡量某值距均值有多少个标准差：z = (x − μ) / σ。

告诉 AI 您的均值、标准差以及要计算的概率——它将绘制钟形曲线，对相关区域进行阴影处理， 并逐步解释每个步骤。

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什么是 68-95-99.7 法则？
在任何正态分布中：约 68% 的值落在均值的 ±1 个标准差内，95% 落在 ±2 个标准差内，99.7% 落在 ±3 个标准差内。这条规则非常实用，被称为"经验法则"。例如，如果考试成绩服从 μ = 70、σ = 10 的正态分布，约 95% 的成绩介于 50 到 90 之间。
什么是 z 分数？
z 分数衡量某值距均值有多少个标准差：z = (x − μ) / σ。z 分数为 +2 意味着该值高于平均值 2 个标准差。将数据转换为 z 分数后，无论原始单位如何，都可以使用标准正态表（μ = 0，σ = 1）。
概率密度函数和累积分布函数有什么区别？
概率密度函数（PDF）描述分布的形状——每个 x 值处曲线的高度。累积分布函数（CDF）给出累积概率 P(X ≤ x)——从 −∞ 到 x 的 PDF 曲线下面积。要求 P(a ≤ X ≤ b)，计算 CDF(b) − CDF(a)。
如何求 X 在两个值之间的概率？
使用 CDF：P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a)。用 z 分数表示：将两个边界转换为 z 分数，然后计算 Φ(z₂) − Φ(z₁)，其中 Φ 是标准正态 CDF。AI 将为您执行此计算并对曲线下的面积进行阴影处理。
"标准正态分布"是什么意思？
标准正态分布是均值 μ = 0、标准差 σ = 1 的特殊情况。任何正态分布都可以通过计算 z 分数转换为标准正态分布。z 表和计算器通常使用标准正态，然后再换算回原始单位。
正态分布什么时候是好的模型？
当数据近似呈对称钟形且有单一峰值时，正态分布是好的模型。根据中心极限定理，来自任何分布的大样本的平均值趋近于正态分布——这就是正态分布在统计学中如此普遍的原因。