Functions
AI Assistant

Gleichungssysteme

Zwei Gleichungen, zwei Geraden — finde, wo sie sich treffen, um beide auf einmal zu lösen

Was passiert, wenn man zwei Gleichungen gleichzeitig hat? Zum Beispiel: y = 2x + 1 und y = -x + 4. Jede Gleichung beschreibt eine Gerade, und der Punkt, wo sich diese Geraden kreuzen, ist das eine (x, y)-Paar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Das ist ein Gleichungssystem — und es zu lösen bedeutet, diesen Schnittpunkt zu finden. Manchmal kreuzen sich die Geraden (eine Lösung), manchmal sind sie parallel (keine Lösung), und manchmal sind sie dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen).

In dieser Lektion findest du Schnittpunkte visuell, überprüfst sie algebraisch, erkundest parallele Geraden und löst sogar ein Alltagsproblem — alles begleitet von einem KI-Tutor Schritt für Schritt auf dem Graphen.

Graph

FAQ

Was ist ein Gleichungssystem?
Ein Gleichungssystem ist eine Menge von zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Variablen. Zum Beispiel bilden y = 2x + 1 und y = -x + 4 ein System. Die Lösung ist das (x, y)-Paar, das BEIDE Gleichungen gleichzeitig wahr macht.
Wie viele Lösungen kann ein System aus zwei linearen Gleichungen haben?
Ein System aus zwei linearen Gleichungen kann eine Lösung (die Geraden schneiden sich in einem Punkt), keine Lösung (die Geraden sind parallel — gleiche Steigung, verschiedener y-Achsenabschnitt) oder unendlich viele Lösungen (die Geraden sind identisch — gleiche Steigung UND gleicher y-Achsenabschnitt) haben.
Was haben parallele Geraden mit Systemen ohne Lösung zu tun?
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung aber verschiedene y-Achsenabschnitte, deshalb schneiden sie sich nie. Zum Beispiel sind y = 2x + 1 und y = 2x - 1 parallel. Da es keinen Schnittpunkt gibt, existiert kein (x, y), das beide Gleichungen erfüllt — das System hat keine Lösung.
Wie überprüfe ich die Lösung eines Gleichungssystems?
Setze die (x, y)-Werte in BEIDE Gleichungen ein und prüfe, ob beide stimmen. Zum Beispiel, wenn die Lösung (1, 3) ist: Prüfe Gleichung 1: 2(1) + 1 = 3 ✓, prüfe Gleichung 2: -(1) + 4 = 3 ✓. Beide stimmen, also ist (1, 3) korrekt.