点と直線の距離

点と直線の距離は、両者間の最短経路の長さです。最短経路は常に垂線——点から直線に90°で下ろした線分です。

直線の傾きが m なら、垂線の傾きは -\frac{1}{m}（負の逆数）。その傾きで点を通る直線の方程式を立て、連立方程式を解いて交点を求めます。それが垂線の足です。

直線 ax + by + c = 0 と点 (x_0, y_0) に対して、距離は d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}。

垂線を引いて最短経路を発見しよう

直線と、その上にない点が与えられたとき、最短距離はいくつでしょう？水平距離でも垂直距離でもありません——垂直距離、つまり元の直線と直角をなす線分の長さです。

このレッスンでは、直線 $y = 0.5x + 1$ と点 P(4, 5) から始めます。P から直線への垂線を引き、垂線の足を求め、ピタゴラスの定理で距離を計算し、点と直線の距離の公式を発見します。

最終的に、作図法と公式法の両方で任意の点から任意の直線への距離を求められるようになります。

点と直線の距離とは？

点と直線の距離は、両者間の最短経路の長さです。最短経路は常に垂線——点から直線に90°で下ろした線分です。

点から直線への垂線の求め方は？

直線の傾きが m なら、垂線の傾きは

-\frac{1}{m}

（負の逆数）。その傾きで点を通る直線の方程式を立て、連立方程式を解いて交点を求めます。それが垂線の足です。

点と直線の距離の公式は？

直線

ax + by + c = 0

と点

(x_0, y_0)

に対して、距離は

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

。

なぜ垂直距離が最短？

点から直線へのすべての線分の中で、垂線が最短です。他のどの線分とも直角三角形を作り、斜辺は必ず各辺より長いからです。

What can it graph?

It can plot explicit, implicit, and parametric functions, add points and geometry, and animate sliders on the same graph.

Can I use voice or a photo?

Yes. You can talk to the tutor, upload a worksheet or handwritten problem, and let the graph update from that input.

Will it explain the steps?

Yes. The AI explains what it is drawing and why, so you see the answer on the graph instead of getting only a final number.